Présentation

Vous vous trouvez actuellement sur le site Mathinker qui est un site d'articles mathématiques en général de niveau licence voire de niveau master. Il ne s'agit pas d'un site où vous trouverez des théorèmes classiques ou un cours tout préparé sur l'algèbre linéaire ou l'analyse classique. Au contraire ce site propose d'explorer des thèmes en marge du cours de licence, des éléments pour mettre en relief et prendre du recul sur les thèmes classiques. C'est aussi l'occasion d'en apprendre plus sur le "bestiaire mathématiques" et de voir plusieurs "curiosités mathématiques" qui seront loin d'être complètement inutile dans les mathématiques en général (fonctions spéciales, séries particulières, etc.).

Ce site n'étant pas un site scolaire à proprement parler, les théorèmes nécessaires à la compréhension correcte d'un article donné ne seront pas redémontrés, ils seront juste évoquer, et on laissera au soin du lecteur de compléter l'étude d'un de ces articles par divers théorèmes qu'il lui manquerait dans son bestiaire mathématiques. Il s'agit donc d'une invitation au voyage mathématiques au travers de thèmes pas trop techniques mais néanmoins passionnants !

Une brève histoire des mathématiques

Il est difficile de savoir quand exactement a débuté la grande aventure mathématiques de l'Homme. La numération et les nombres ont sans doute une part innée. Pour ordonner les éléments, par exemple pour effectuer une suite d'objets, un rangement, ou encore un alphabet (en désignant la première, seconde, troisième, etc. lettre) on utilise des nombres entiers dans leur fonction "d'ordinaux". Comme leur nom le laisse penser les ordinaux nécessitent une notion "d'ordre" et donc de rangement. Ils prennent leur contexte dans les ensembles dits "bien ordonnés". Il s'agit d'un ensemble vérifiant le fait que dans toute sous partie non-vide de cet ensemble il existe un plus petit élément. L'ensemble des entiers naturels étant bien ordonné, cette propriété est une caractéristique de \(\mathbb{N}\).

Les nombres entiers sont donc là depuis le départ dans notre manière d'apprivoiser le monde et de le penser ou le formaliser. La deuxième chose primaire dans les mathématiques est la notion de géométrie. La géométrie est une des branches les plus anciennes des mathématiques. Les éléments d'Euclide datant de -300 avant J.C mais d'auteur inconnu (un présumé Euclide qui aurait peut être compilé simplement des travaux antérieurs). Dans ce manuscrit, on peut y retrouver les propriétés élémentaires des nombres. Notamment des nombres premiers, donc la preuve est donnée qu'ils sont en nombre infini. Diverses propriétés sur les nombres entiers, notamment sur les questions d'arithmétique, de divisibilité. Mais également les questions de géométrie donc l'axiomatique a été pour la première fois fondée de manière cohérente et formalisée. La théorie qui en découle est alors connue sous le nom de la "géométrie euclidienne".

Plus tard, ce qui a intéressé les mathématiciens et les scientifiques, était de pouvoir exprimer une plus large classe de nombres. Il y avait bien sûr les nombres entiers. Mais aussi les nombres rationnels, qui sont utiles pour exprimer les solutions de certaines équations à coefficients entiers comme \(2x + 3 = 0 \). Les nombres rationnels ont lentement été élargi aux nombres irrationnels, les nombres qui n'ont pas de développement décimal avec une période finie. Comme par exemple \( \sqrt{p} \) si \( p \) n'est pas un carré parfait. Ces nombres irrationnels interviennent régulièrement dans la résolution des équations dites "quadratiques" ou "équations du second degré" à coefficients entiers, faisant intervenir une inconnue au carré. Comme par exemple la célèbre équation \( x^2-x-1 = 0 \) dont une de ses solutions est le nombre d'or, \( \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\). On peut facilement prouver que la somme d'un nombre rationnel et irrationnel est irrationelle et comme \(\sqrt{5}\) est irrationnel alors le nombre d'or l'est aussi.

Les nombres irrationnels et rationnels forment ensemble ce qu'on appelle les nombres "réels". L'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\) est dense dans l'ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) ce qui signifie que n'importe quel nombre réel est la limite d'une suite de nombres rationnels. Pour un réel qui est rationnel, cela ne pose pas de problème puisque si \(q \) est un rationnel alors la suite \( (q)_{n \in \mathbb{N}}\) constante converge trivialement vers \(q\). Le résultat est plus intéressant concernant les nombres irrationnels qui peuvent approcher aussi près qu'on par un nombre rationnel. Ce champs d'étude très intéressant des nombres réels s'appelle "l'approximation diophantienne".

Cet outillage arithmétique construit, l'objectif des mathématiciens était l'étude de la géométrie qu'ils présentaient comme la discipline phare des mathématiques. A l'époque de Descartes, la géométrie euclidienne était largement connue. On avait exhibé beaucoup du propriétés faisant intervenir des triangles, des cercles, des droites. Pour les plus connus d'entre eux : les cercles d'Apollonius, le théorème de Céva et les points de Gergonne, les points de Nagel, la droite d'Euler, le théorème de Pappus, etc. L'idée de représenter une courbe par une équation provient de René Descartes (1596-1650) et de Galilée (1564-1642). L'étude de la chute des corps par Galilée est le balbutiement de la notion de trajectoire et donc d'équations paramétriques. Mais c'est réellement Descartes qui a associé à chaque point du plan, un couple de coordonnés \((x,y)\) et qui décriva les lieux géométriques du plan par une relation entre \(x\) et \(y\). L'équation d'une droite est toujours de la forme \(y = ax+b\) avec \(a,b\) deux nombres réels quelconques. Celle d'une parabole, toujours de la forme \(y = ax^2 + bx + c \) (avec \(a\) non nul). Celle d'une hyperbole toujours de la forme \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) ou encore celle d'un cercle qui se met sous la forme \((x- \alpha)^2 + (y-\beta)^2=R^2\) où les paramètres \(\alpha\) et \(\beta\) sont considérés comme les coordonnées d'un point particulier qui est à égale distance de tous les points du cercle : le centre du cercle et \(R\) étant la distance entre ce centre et les points du cercle.

Ainsi, après l'ère des figures géométriques, apparut l'ère des équations algèbriques. Les équations algébriques, sont les équations qui sont équivalentes à la recherche d'une racine d'un certain polynôme. Les équations où apparaissent des exposants fractionnaires (racines) sont des équations algébriques en réalité de degré supérieur, modulant le fait d'élever à la puissance correspondante et de vérifier les solutions trouvées. Pour les équations de degré 2, 3 ou 4, des solutions avaient été trouvé modulo l'emploi de nombres spéciaux dits "nombres complexes" qui ont la particularité d'étendre \(\mathbb{R}\) en un corps algébriquement clos, c'est un à dire un ensemble de nombres où toutes les équations polynômiales ont au moins une solution. Dans \(\mathbb{C}\) les équations algébriques de degré \(n\) ont même \(n\) solutions ! L'une des plus célèbres de ces équations est l'équation \(x^n = 1\) dont les solutions sont les racines de l'unité. Cet ensemble de racines qu'on peut noté \(\mathbb{U}\) possède des propriétés algébriques et géométriques remarquables.

Cependant on arrivait pas à résoudre en toute généralité les équations algébriques de degré plus grand que 4. Les résoudre en explicitant les solutions sous forme de combinaisons de racines des coefficients du polynôme. C'est Evariste Galois puis Abel et d'autres plus tard qui ont résolu le problème en étudiant les symétries des racines des polynomes de degré 5 et supérieurs au travers de la théorie des groupes, qu'ils permirent de mettre à jour le comportement des racines et l'impossibilité de trouver une formule simple pour les équations de degré supérieur à 4.

Dans le même temps, l'analyse réelle s'était développé sous l'impulsion de Newton et Leibniz qui avaient développé des outils de dérivation et d'intégration, à la base, sur des considérations géométriques. Ces outils sont fondamenteux en physique et en particulier en mécanique, car c'est grâce à ces méthodes qu'on peut résoudre l'équation du mouvement. En version plus théorique, les équations du mouvement d'une particule peuvent être modélisées par les équations d'Euler-Lagrange faisant intervenir dérivées et dérivées partielles. Outre Newton et Leibniz, Lagrange, Laplace, Darboux, Riemann, Poisson, Fourier et bien sûr Louis-Augustin Cauchy développèrent ce qu'on appelle aujourd'hui "l'analyse réelle" qui est une branche des mathématiques qui étudie les fonctions d'une variable réelle. Ils contribuèrent aussi énormément aux résolutions de problèmes de physique de l'époque et donc à la résolutions d'équations différentielles ou d'équations aux dérivées partielles.

La quête mathématiques se poursuit avec la recherche d'une structure unitaire des mathématiques. A l'aube du 20ième siècle David Hilbert, grand mathématicien allemand, propose une audacieuse liste de 23 problèmes qui il espère forgeront le paysage mathématiques du 20ième siècle. Georg Cantor est à l'origine de cette unification. Il fonda l'approche moderne des mathématiques nommée "théorie des ensembles" dans sa version naïve. Dans cette théorie, chaque objet mathématiques peut être exprimée sous la forme d'un ensemble. Ainsi par exemple, un couple de nombre peut s'exprimer de cette manière : \((x,y)={{x},y}\). Une fonction peut s'exprimer sous cette forme : \(f = (\Gamma,E,F)\) où \(\Gamma,E,F\) sont respectivement le graphe de la fonction \(f\), l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivé de \(f\). L'approche naïve de Cantor fut étoffée par Zermerlo et Fraenkel, pour fonder l'axiomatique dit "ZF" de la théorie des ensembles. Qui est avec l'axiome du choix, ou le lemme de Zorn, la base mathématiques moderne.