1 - Définitions

1.1 Egalité et équation

L'égalité

On définit l'égalité sur un ensemble numérique (de nombres) comme une relation binaire. D'après la propriété de Leibniz sur l'égalité, on peut dire que deux nombres \(x\) et \(y\) sont égaux si et seulement si pour toute proposition \(P(x)\) dépendant de \(x\), substituer \(y\) à \(x\) ne change pas la valeur de vérité de \(P\). L'égalité numérique entre \(x\) et \(y\) est alors une proposition caractérisée par le fait d'être vraie si \(x\) est en relation avec \(y\) et fausse dans le cas contraire.

Les équations

On appelle "équation numérique à une inconnue", toute égalité numérique paramétrée par une variable dite "inconnue". Résoudre une équation numérique revient à trouver toutes les valeurs numériques pour lesquelles en remplaçant l'inconnue par ces valeurs, l'égalité numérique devient vraie. Les valeurs résolvant l'équation sont appelées "solutions de l'équation" ou encore "racines" dans le cas des polynômes que l'on va présenter.

1.2 Fonction polynômiale

Une fonction polynômiale de la variable complexe \(z\) est une fonction \(P\) définie sur \(\mathbb{C}\) par : $$\forall z \in \mathbb{C}, P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + ... + a_0$$ Les nombres \(a_n, a_{n-1}, ..., a_0\), étant les coefficients du polynôme, des nombres complexes quelconques. Une équation algébrique de degré \(n\) est alors définie comme l'équation d'inconnue complexe \(z\) et vérifiant : $$a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + ... + a_0 = 0$$ Avec \(a_n\) non-nul pour pouvoir parler de degré de l'équation algébrique. On s'intéressera pas la suite à la résolution de telles équations

2 - Approche globale

2.1 Théorème de d'Alembert-Gauss

Le théorème de d'Alembert-Gauss affirme que toute équation algébrique à coefficients complexes admet au moins une solution dans \(\mathbb{C}\).

Soit \(P \in \mathbb{C}[X] \) un polynôme dont le terme constant est non-nul (sinon il est facile de prouver que \(0\) est une racine). On s'intéresse au module de \(P\). Posons alors : \( f : z \mapsto \left| P(z) \right| \).

\(Im(f) \) étant minoré (par \(0\)) et non vide (contenant au moins \(f(0\)), on a d'après la propriété de la bonne inférieure dans \(\mathbb{R}\), que \(Im(f)\) possède une borne inférieur.

Montrons qu'il existe un réel \(\alpha\) tel que si \(|z| > \alpha\) alors \(|P(z)| > 2m \). En appliquant l'inégalité triangulaire (la forme étant \( ||a| - |b|))

2.2 Théorème de Gauss-Lucas

2.3 Relations coefficients-racines

2.4 Théorème de Sotta

2.5 Méthode de Tschirnhaus

3 - Les équations du premier degré dans \( \mathbb{C}\)

4 - Les équations du second degré dans \( \mathbb{C}\)

4.1 Forme canonique et résolution

4.2 Relations coefficients-racines

4.3 Translations et transformations de paraboles

5 - Les équations du troisième degré dans \( \mathbb{C} \)

5.1 Résultant de deux polynômes

5.2 Existence de racines réelles

5.3 Méthode de Cardan

5.4 Changements de variables trigonométriques (wikiversité)

5.5 Méthode de Sotta

5.6 Méthode de Tschirnhaus pour le troisième degré

5.7 Exemple

6 - Les équations quartiques dans \( \mathbb{C} \)

6.1 Equations bicarrés et à coefficients symétriques

6.2 Méthode de Ferrari

6.3 Méthode de Tschirnhaus pour le quatrième degré

6.4 Exemple

7 - Les équations quintiques dans \( \mathbb{C} \)

7.1 Résolubilité par radicaux

7.2 Les radicaux de Bring