1- Lemme de factorisation par les noyaux

On note \(E\), \(F\) et \(G\) trois \(\mathbb{K}\)-ev de dimensions finies.. Et \(u \in \mathcal{L}(E,F)\), \(w \in \mathcal{L}(E,G)\) deux applications linéaires. On a que : $$ \exists v \in \mathcal{L}(F,G), w = v \circ u \Longleftrightarrow \mathrm{ker}(u) \subset \mathrm{ker}(v)$$

Implication directe

C'est l'implication simple. En effet, supposons qu'il existe \(v \in \mathcal{L}(F,G) \) tel que \( w = v \circ u \). Et soit \(x \in \mathrm{ker}(u) \) alors : \(w(x) = v(u(x)) = v(0_F) = 0_E \). Et donc \(x \in \mathrm{ker}(v)\).

Implication réciproque

Supposons cette fois que \(\mathrm{ker}(u) \subset \mathrm{ker}(v) \). On considère \(S_p\) un espace supplémentaire (l'existence du supplémentaire est assuré selon les théorèmes généraux) à \(\mathrm{Im}(u)\) dans \(F\) et on pose : \(f : S_p \rightarrow G \) telle que, pour tout \(x \in S_p\), \(f(x) = 0_G\). Et l'application suivante : \(g : \mathrm{Im}(u) \rightarrow G \) telle que, pour tout \(x \in \mathrm{Im}(u)\), \(g(x) = w(a)\). Où \(a\) est un élément vérifiant \(x = u(a)\). L'application \(g\) étant bien définie puisque si on prend \(a,a' \in E\) tels que \(u(a) = u(a') = x\) alors \(a - a' \in \mathrm{ker}(u)\) et donc d'après l'hypothèse, \(a - a' \in \mathrm{ker}(w)\) d'où \(w(a) = w(a')\). On construit alors l'application \(v\) qui est bien linéaire (vérification facile) telle que : \(v_{S_p} = f \) qui est la restriction de \(v\) à \(S_p\) et \(v_{\mathrm{Im}(u)} = g\). On a alors bien \(w = v \circ u\).

2- Lemme de factorisation par les images

On note \(E\), \(F\) et \(G\) trois \(\mathbb{K}\)-ev de dimensions finies. Et \(u \in \mathcal{L}(F,E)\), \(v \in \mathcal{L}(G,E)\) deux applications linéaires. On a que : $$ \exists w \in \mathcal{L}(F,G), u = v \circ w \Longleftrightarrow \mathrm{Im}(u) \subset \mathrm{Im}(v)$$

Implication directe

Supposons qu'il existe \(w \in \mathcal{L}(F,G) \) tel que \( v = u \circ w \). Et soit \(x \in \mathrm{Im}(v) \) alors : \(\exists y \in F, x = v(y) = u(w(y)) \). Et donc \(x \in \mathrm{Im}(u)\).

Implication réciproque

Supposons que \(\mathrm{Im}(u) \subset \mathrm{Im}(v) \). Soit \( (e_1, e_2, ... , e_n) \) une base de vecteurs de \(F\) (on note \(n = \mathrm{dim}(F) \) ). Pour tout \(i \in \{1,...,n\} \) il existe au moins, un vecteur \(k_i \in G \) tel que \(u(e_i) = v(k_i) \) puisqu'en effet \(\mathrm{Im}(u) \subset \mathrm{Im}(v) \). Pour tout \(i \in \{1,...,n\} \), notons \(Z_i = \{ k , u(e_i) = v(k) \} \).

On note alors \(w \) l'application de \(F\) dans \(G\) définie sur la base \( (e_1, e_2, ... , e_n) \) par le choix d'un certain élément \(k_i \) de \(Z_i \) tel qu'on a alors : \( \forall i \in \{1,...,n\} , w(e_i) = k_i \). De plus, on pose par construction la linéarité de \(w\). On a bien alors que \( u = v \circ w \) puisque ces deux \(v\) et \(w\) sont linéaires et que \(u\) et \(v \circ w\) coïcindent sur une base de \(F\). En effet, pour \(i \in \{1,...,n\}\), \(v(w(e_i)) = v(k_i) = u(e_i) \).