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Les sous-groupes de groupes additifs usuels

1- Définitions et rappels

1.1 Rappels sur les groupes et sous-groupes

Groupe

Soit $G$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\star$. Nous disons que $(G,\star)$ est un groupe si et seulement s'il existe un élément neutre dans $G$ pour la loi $\star$, si tout élément de $G$ admet un inverse pour la loi $\star$ et enfin, si la loi $\star$ est associative.

Il est facile de vérifier que $(\mathbb{Z}, +)$ , $(\mathbb{Q}, +)$ , $(\mathbb{R}, +)$ , $(\mathbb{C}, +)$ sont des groupes où $+$ désigne l'addition usuelle.

Sous-groupe

Soit $(G,\star)$ un groupe et soit $H$ un sous-ensemble de $G$. Nous disons que $H$ est un sous-groupe de $(G,\star)$ si et seulement si $(H,\star)$ est un groupe. Selon les besoins, nous pourrons utiliser le critère de sous-groupe qui stipule que $H$ est un sous-groupe de $(G,\star)$ si et seulement si le neutre de $\star$ appartient à $H$ et si $H$ est stable par $\star$ et par passage à l'inverse.

1.2 Définitions concernant les sous-groupes maximaux et les groupes quotients

Sous-groupe maximal d'un groupe

Soit $G$ un groupe. On dit que $H$ est un sous-groupe maximal de $G$ si et seulement si $H \neq G$ et si il n'existe pas de sous-groupe de $G$ non-trivial contenant $H$. On peut dire que $H$ est le plus grand sous-groupe (pour l'inclusion) des sous-groupes non-triviaux de $G$.

Quotient d'un groupe $G$ par un de ses sous-groupe $H$

Les classes à gauche de $H$ correspondent aux ensembles : $$\forall g \in G, gH = \{gh, h \in H \}$$ Les classes à droite de $H$ correspondent quant à elles aux ensembles : $$\forall g \in G, Hg = \{hg, h \in H \}$$ Si chaque classe coïncide (nous disons alors que ceux sont des sous-groupes distingués), autrement dit, si : $$ \forall g \in G, gH = Hg$$ Nous pouvons former le groupe quotient de $G$ par $H$ définit comme : $$ G \backslash H = \{ gH, g \in G\} $$

2 - Sous-groupes de $\mathbb{Z}$

Description des sous-groupes de $\mathbb{Z}$ :

Les sous-groupes de $\mathbb{Z}$ sont de la forme $a\mathbb{Z}$ avec $a \in \mathbb{N}$.

Démonstration :

Soit $G$ un sous-groupe de $\mathbb{Z}$. Supposons que $G \neq \{0\} $ (dans ce cas $ G = 0\mathbb{Z} $ ), il existe un élément $g \in G$ tel que $g \neq 0 $. On a alors $ -g \in G$ par stabilité par passage à l'opposé. Bien sûr soit $g$ soit $-g$ est positif. Si bien que $G \cap \mathbb{N}^* \neq \emptyset$. Donc $ G \cap \mathbb{N}^* $ est une partie de $\mathbb{N}$ non vide qui possède donc un plus petit élément noté $m$. Par stabilité, de l'addition et du passage à l'opposé, on en déduit que $m\mathbb{Z} \subset G$.

Maintenant, prouvons l'inclusion réciproque : $G \subset m\mathbb{Z} $. Soit $g \in G$. On peut procéder à la division euclidienne de $g$ par $m$ : $g = mq + r$ avec $r$ le reste de la division euclidienne qui vérifie bien sûr $0 \le r < m$. Par stabilité $r \in G$ et comme $m$ est le plus petit entier strictement positif de $G$, il suit que $r = 0$. D'où $g = mq$. On a donc bien prouvé que $G \subset m\mathbb{Z} $.

3 - Sous-groupes de $\mathbb{Q}$

3.1 Sous-groupe maximal de $(\mathbb{Q}, +)$

Nous allons démontrer que $(\mathbb{Q}, +)$ ne possède pas de sous-groupe maximal.

En effet, prenons $H$ un sous-groupe de $\mathbb{Q}$ distinct de $\mathbb{Q}$. Soit $x \in \mathbb{Q} \backslash H$, le groupe quotient. Montrons que le sous-groupe $H + x\mathbb{Z}$ est un sous-groupe plus grand que $H$ et plus petit que $\mathbb{Q}$ au sens de l'inclusion.

Nous pouvons raisonner par l'absurde, en supposans que $H + x\mathbb{Z} = \mathbb{Q} $. On peut par exemple prendre $n \in \mathbb{N} $, un entier naturel. On aurait alors $ \frac{x}{n} \in \mathbb{Q}$. Et donc, il existerait $a_n \in H$ et $b_n \in \mathbb{Z}$ tels que : $$ a_n + x b_n = \frac{x}{n} $$ D'où : $$ x - n a_n = n x b_n $$ Comme $x \in \mathbb{Q} \backslash H$, par stabilité de sous-groupe, $x - n a_n \notin H$ et $n x b_n \notin H$. D'autre part : $$ n a_n = x (1 - n b_n)$$ Comme $n a_n \in H$, par stabilité de sous-groupe, on a $ x (1 - n b_n) \in H$ et donc par stabilité de sous-groupe, on devrait avoir $x(1 - n b_n)b_{1 - n b_n} \in H $. Contradiction.

Donc $H \subset H + x \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. Donc $H$ n'est pas le sous-groupe maximal de $\mathbb{Q}$. $\mathbb{Q}$ ne possède pas de sous-groupe maximal.

3.2 Sous-groupes de $(\mathbb{Q}, +)$

Nous allons ici reprendre une description des sous-groupes de $(\mathbb{Q}, +)$ réalisée par Ross Beaumont et H.S Zuckerman. Nous noterons $\mathbb{P}$ l'ensemble des nombres premiers que nous listeront dans l'ordre croissant : $p_1 = 2 ; p_2 = 3 ; p_3 = 5 ; ...$.

Définitions

Soit $ A = (\alpha_1, \alpha_2, ...) $ une liste infinie d'entiers positifs (possiblement nuls) ou le symbole $\infty$.

On considère un entier $i$ tel que : $$\forall j > 0, (\alpha_j > 0) \Longrightarrow \mathrm{PGCD}(i,p_j) = 1$$ Nous définissons à présent l'ensemble $S_{i,A}$ associée à la liste $A$ par : $$ S_{i,A} = \left\{\frac{a}{b}i , a \in \mathbb{Z} , b \in M \right\} $$ Avec $M $ l'ensemble suivant : $$ M = \left\{ \prod_{p_j \in \mathbb{P}} p_j^{n_j}, n_j \le \alpha_j \right\}$$

Une liste de propositions

Soit $G$ un sous-groupe non-trivial de $(\mathbb{Q}, +)$.

(1)

Soit $g \in G$. $g$ est un rationnel qui peut s'écrire $g = \frac{a}{b} $ avec $\mathrm{PGCD}(a,b) = 1 $.

Désignons par $i$ le plus petit entier strictement positif de $G$ sachant que $G$ contient forcément des entiers strictement positifs par stabilité (si un rationnel $\frac{p}{q} $ non nul est dans $G$ alors $p$ et $-p$ sont dans $G$). On a alors : $a = qi + r $ par division euclidienne de $a$ par $i$ avec $0 \le r < i$.

De plus $ a - qi \in G$ donc $r = 0$ (en effet, on a alors $r \in G$ et $0 \le r < i$, sachant que $i$ est le plus petit entier strictement positif de $G$, il vient que $r = 0$ ). D'où la conclusion : $$ \forall g \in G ; \exists (q,b) \in \mathbb{Z}^2 ; g = \frac{q}{b} i ; \mathrm{PGCD}(q,b) = 1 $$

(2)

Soient $(a,b) \in \mathbb{Z}^2 $ et $i \in G$.

Supposons que $\frac{a}{b}i \in G$ et $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$. D'après le théorème de Bezout, il existe un couple d'entier $(k_1, k_2)$ tel que $ a k_1 + b k_2 = 1 $.

On a alors : $$ \frac{i}{b} = \frac{(a k_1 + b k_2)i}{b} = k_1 \frac{ai}{b} + i k_2 \in G$$

(3)

Soient $(a,b,c) \in \mathbb{Z}^3 $ et $i$ le plus petit entier positif de $G$.

Supposons que $\frac{ai}{bc} \in G$ alors $c \frac{ai}{bc} = \frac{ai}{b} \in G $ d'où $\frac{i}{b} \in G$ d'après la proposition précédente.

(4)

Soient $x,y \in G$ et $i$ le plus petit entier positif de $G$. D'après la propriété (1), il existe $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ tel que : $x = \frac{ai}{b}$ et $y = \frac{ci}{d}$ avec $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ et $\mathrm{PGCD}(c,d)=1$

Supposons que $\mathrm{PGCD}(b,d)=1$ alors d'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers $k_1, k_2 $ tels que $k_1 b + k_2 d = 1$. D'où : $$\frac{i}{bd} = \frac{i(k_1 b + k_2 d)}{bd} = \frac{k_1 i }{d} + \frac{k_2 i}{b}$$ D'après la proposition (2) puisque $x \in G$ alors $\frac{i}{b} \in G$ et donc $ k_2 \frac{i}{b} \in G$. De même $k_1 \frac{i}{d} \in G$. D'où le résultat : $$\frac{i}{bd} \in G$$

Sens direct

Prouvons que les ensembles $S_{i,A}$ munis de l'addition sont des sous-groupes de $(\mathbb{Q}, +)$. Soit $i \in \mathbb{Z}$ et $A = (\alpha_1, \alpha_2, ...)$. Nous avons d'après la structure même de l'ensemble $S_{i,A}$: $$0 \in S_{i,A}$$ $$x \in S_{i,A} \Longrightarrow -x \in S_{i,A}$$ Et pour vérifier la stabilité par l'addition, prenons $x \in S_{i,A} $ et $y \in S_{i,A} $ alors $x = \frac{a_x i}{b_x}$ et $y = \frac{a_y i}{b_y}$. Avec $b_x = \prod_{p_j \in \mathbb{P}} p_j^{n_j} $ et $b_y = \prod_{p_j \in \mathbb{P}} p_j^{m_j} $. Posons : $$ d(b_x,b_y) = \prod_{p_j \in \mathbb{P}} p_j^{s_j} $$ Où les $s_j$ sont définis par : $s_j = \max ( n_j, m_j) $. Bien sûr $s_j \le \alpha_j$. On peut alors noter : $b'_x = \frac{d(b_x,b_y)}{b_x}$ et $b'_y = \frac{d(b_x,b_y)}{b_y}$. On a alors : $$ x + y = \frac{a_x i}{b_x} + \frac{a_y i}{b_y} = \frac{(b'_x a_x -b'_y a_y)i }{d(b_x,b_y)} \in S_{i,A} $$ Donc nous avons prouvé que les $(S_{i,A},+)$ forment des sous-groupes de $(\mathbb{Q}, +)$ d'après le critère de sous-groupe.

Sens réciproque

Maintenant prouvons le sens réciproque. Soit $G$ un sous-groupe non-trivial de $(\mathbb{Q}, +)$. D'après la proposition (1), tout élément $g$ de $G$ peut s'écrire sous la forme $g = \frac{ai}{b}$ avec $\mathrm{PGCD}(a,b) = 1$ et où $i$ est le plus petit entier positif de $G$.

Nous allons alors créer la liste $A = (\alpha_1, \alpha_2, ... ) $ (comme définie plus haut, les $\alpha_i $ sont soit des entiers, soit le symbole $\infty$) comme suit :

Soit $j \in \mathbb{N}^*$. Si $ \forall L \in \mathbb{N} $ il existe un élément de $G$ de la forme donc $\frac{ai}{b}$ avec $\mathrm{PGCD}(a,b) = 1$ tel que $p_j^L|b $ alors prenons $\alpha_j = \infty $. Sinon prenons $\alpha_j = \max \{ k , p_j^k | b , \frac{ai}{b} \in G \}$

Comme $\mathrm{PGCD}(a,b) = 1$, et $p_j | b$ si $\alpha_j > 0$ alors si $\alpha_j > 0$ on a que $\mathrm{PGCD}(i,p_j) = 1$.

D'après notre définition de $S_{i,A}$ on a que $G \subset S_{i,A}$.

Chaque élément $x$ de $S_{i,A}$ peut s'écrire sous la forme avec pour tout $j \in \mathbb{N}^*$, $n_j \le \alpha_j$ et $\mathrm{PGCD}(a,p_1^{n_1} p_2^{n_2}...p_r^{n_r}) = 1$ pour un certain entier $r$ : $$ x = \frac{ai}{p_1^{n_1} p_2^{n_2}...p_r^{n_r}}$$ D'après la proposition (3), on a que $\forall j \in \{1,...,r\}, \frac{i}{p_j^{n_j}} \in G$. Et d'après la proposition (4), on a que $x \in G$. D'où $S_{i,A} \subset G$.

Donc $G = S_{i,A}$

4- Sous-groupes de $\mathbb{R}$

Si on met de côté le sous-groupe additif de $\mathbb{R}$ : $ \{0\} $. Un sous-groupe $G$ addifitf de $\mathbb{R}$ est soit dense dans $\mathbb{R}$ soit est de la forme $G = a \mathbb{Z}$ avec $a > 0$.

Comme $G$ n'est pas réduit à $ \{0\}$ il existe un nombre positif dans $G$ (par stabilité de $G$ par passage à l'opposé). On note $X$ l'ensemble : $X = \{x > 0, x \in G\} $. $X$ est une partie non-vide et minorée par $0$, elle possède donc une borne inférieure $s = \inf (X)$ qui est positive ou nulle.

Si $s$ est strictement positive, il existe $x,y \in G$ tels que $s \le x \le y < 2s $ (en effet, si $s \in G$ alors on peut prendre par exmeple $s = x = y$. Sinon il existe un élément de $G$ compris entre $s$ et $2s$ (sinon $2s$ serait un minorant de $X$ plus grand que $s$) qu'on note $r$, et on peut alors prendre $x = y = r $ par exemple). On a alors $0 \le y-x < a$ et comme $y-x \in G$ par stabilité de l'opération de groupe, d'où $y = x$. Il n'y a donc qu'un seul élément de $G$ entre $s$ et $2s$ qu'on note $x_0$. Si $s \neq x_0 $ alors on a une contradiction car on aurait deux éléments distincts qui seraient dans l'intervalle $[s,2s[ $. Si bien que $s = x_0 = \inf(X)$.

On a alors que $s \mathbb{Z} \subset G$ puisque $s \in G$ et $G$ est un groupe. D'autre part, on a que $G \subset s\mathbb{Z} $. En effet, soit $x \in G$. On pose $n = \lfloor \frac{x}{s} \rfloor$. D'après la définition de la partie entière : $$ \frac{x}{s} - 1 < n \le \frac{x}{s} $$ D'où : $$ 0 \le x - sn < s $$ On a $x - sn \in G$ par stabilité, d'où $x - sn = 0 $ puisque $s$ est la borne inférieure de $X$. D'où $x = sn$, $x \in s\mathbb{Z}$. L'autre inclusion est prouvée.

Si $s$ est nulle, on montre que $G$ est dense dans $\mathbb{R}$. Soit $x \in \mathbb{R}$ et $\epsilon > 0$. Montrons que l'intervalle $]x-\epsilon , x + \epsilon[$ contient un élément de $G$. Il existe $g \in G$ tel que $0 < g < \epsilon $ puisque $0$ est la borne inférieure de $X$. On peut alors poser $n = \lfloor \frac{x}{g} \rfloor$. D'après la définition de la partie entière : $$ \frac{x}{g} - 1 < n \le \frac{x}{g}$$ $$0 \le x - ng < g < \epsilon $$ Par stabilité, $ng \in G$ et $ng \in ]x-\epsilon , x + \epsilon[ $, d'où la conclusion.