1- Définitions et rappels

1.1 Rappels sur les groupes et sous-groupes

Groupe

Soit $G$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\star$. Nous disons que $(G,\star )$ est un groupe si et seulement s'il existe un élément neutre dans $G$ pour la loi $\star$, si tout élément de $G$ admet un inverse pour la loi $\star$ et enfin, si la loi $\star$ est associative.

Il est facile de vérifier que $(\mathbb{Z},+)$ , $(\mathbb{Q},+)$ , $(\mathbb{R},+)$ , $(\mathbb{C},+)$ sont des groupes où $+$ désigne l'addition usuelle.

Sous-groupe

Soit $(G,\star )$ un groupe et soit $H$ un sous-ensemble de $G$. Nous disons que $H$ est un sous-groupe de $(G,\star )$ si et seulement si $(H,\star )$ est un groupe. Selon les besoins, nous pourrons utiliser le critère de sous-groupe qui stipule que $H$ est un sous-groupe de $(G,\star )$ si et seulement si le neutre de $\star$ appartient à $H$ et si $H$ est stable par $\star$ et par passage à l'inverse.

1.2 Définitions concernant les sous-groupes maximaux et les groupes quotients

Sous-groupe maximal d'un groupe

Soit $G$ un groupe. On dit que $H$ est un sous-groupe maximal de $G$ si et seulement si $H\ne G$ et si il n'existe pas de sous-groupe de $G$ non-trivial contenant $H$. On peut dire que $H$ est le plus grand sous-groupe (pour l'inclusion) des sous-groupes non-triviaux de $G$.

Quotient d'un groupe $G$ par un de ses sous-groupe $H$

Les classes à gauche de $H$ correspondent aux ensembles : $$\mathrm{\forall }g\in G,gH=\{gh,h\in H\}$$ Les classes à droite de $H$ correspondent quant à elles aux ensembles : $$\mathrm{\forall }g\in G,Hg=\{hg,h\in H\}$$ Si chaque classe coïncide (nous disons alors que ceux sont des sous-groupes distingués), autrement dit, si : $$\mathrm{\forall }g\in G,gH=Hg$$ Nous pouvons former le groupe quotient de $G$ par $H$ définit comme : $$G\mathrm{\setminus }H=\{gH,g\in G\}$$

2 - Sous-groupes de $\mathbb{Z}$

Description des sous-groupes de $\mathbb{Z}$ :

Les sous-groupes de $\mathbb{Z}$ sont de la forme $a\mathbb{Z}$ avec $a\in \mathbb{N}$.

Démonstration :

Soit $G$ un sous-groupe de $\mathbb{Z}$. Supposons que $G\ne \{0\}$ (dans ce cas $G=0\mathbb{Z}$ ), il existe un élément $g\in G$ tel que $g\ne 0$. On a alors $-g\in G$ par stabilité par passage à l'opposé. Bien sûr soit $g$ soit $-g$ est positif. Si bien que $G\cap {\mathbb{N}}^{\ast }\ne \mathrm{\varnothing }$. Donc $G\cap {\mathbb{N}}^{\ast }$ est une partie de $\mathbb{N}$ non vide qui possède donc un plus petit élément noté $m$. Par stabilité, de l'addition et du passage à l'opposé, on en déduit que $m\mathbb{Z}\subset G$.

Maintenant, prouvons l'inclusion réciproque : $G\subset m\mathbb{Z}$. Soit $g\in G$. On peut procéder à la division euclidienne de $g$ par $m$ : $g=mq+r$ avec $r$ le reste de la division euclidienne qui vérifie bien sûr $0\le r<m$. Par stabilité $r\in G$ et comme $m$ est le plus petit entier strictement positif de $G$, il suit que $r=0$. D'où $g=mq$. On a donc bien prouvé que $G\subset m\mathbb{Z}$.

3 - Sous-groupes de $\mathbb{Q}$

3.1 Sous-groupe maximal de $(\mathbb{Q},+)$

Nous allons démontrer que $(\mathbb{Q},+)$ ne possède pas de sous-groupe maximal.

En effet, prenons $H$ un sous-groupe de $\mathbb{Q}$ distinct de $\mathbb{Q}$. Soit $x\in \mathbb{Q}\mathrm{\setminus }H$, le groupe quotient. Montrons que le sous-groupe $H+x\mathbb{Z}$ est un sous-groupe plus grand que $H$ et plus petit que $\mathbb{Q}$ au sens de l'inclusion.

Nous pouvons raisonner par l'absurde, en supposans que $H+x\mathbb{Z}=\mathbb{Q}$. On peut par exemple prendre $n\in \mathbb{N}$, un entier naturel. On aurait alors $\frac{x}{n}\in \mathbb{Q}$. Et donc, il existerait $a_n\in H$ et $b_n\in \mathbb{Z}$ tels que : $$a_n+x{b}_n=\frac{x}{n}$$ D'où : $$x-n{a}_n=nx{b}_n$$ Comme $x\in \mathbb{Q}\mathrm{\setminus }H$, par stabilité de sous-groupe, $x-n{a}_n\notin H$ et $nx{b}_n\notin H$. D'autre part : $$n{a}_n=x(1-n{b}_n)$$ Comme $n{a}_n\in H$, par stabilité de sous-groupe, on a $x(1-n{b}_n)\in H$ et donc par stabilité de sous-groupe, on devrait avoir $x(1-n{b}_n)b_{1-n{b}_n}\in H$. Contradiction.

Donc $H\subset H+x\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$. Donc $H$ n'est pas le sous-groupe maximal de $\mathbb{Q}$. $\mathbb{Q}$ ne possède pas de sous-groupe maximal.

3.2 Sous-groupes de $(\mathbb{Q},+)$

Nous allons ici reprendre une description des sous-groupes de $(\mathbb{Q},+)$ réalisée par Ross Beaumont et H.S Zuckerman. Nous noterons $\mathbb{P}$ l'ensemble des nombres premiers que nous listeront dans l'ordre croissant : $p_1=2;p_2=3;p_3=5;...$.

Définitions

Soit $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...)$ une liste infinie d'entiers positifs (possiblement nuls) ou le symbole $\mathrm{\infty }$.

On considère un entier $i$ tel que : $$\mathrm{\forall }j>0,({\alpha }_j>0)⟹\mathrm{PGCD}(i,p_j)=1$$ Nous définissons à présent l'ensemble $S_{i,A}$ associée à la liste $A$ par : $$S_{i,A}=\{\frac{a}{b}i,a\in \mathbb{Z},b\in M\}$$ Avec $M$ l'ensemble suivant : $$M=\{\prod _{p_j\in \mathbb{P}}{p}_j^{n_j},n_j\le {\alpha }_j\}$$

Une liste de propositions

Soit $G$ un sous-groupe non-trivial de $(\mathbb{Q},+)$.

(1)

Soit $g\in G$. $g$ est un rationnel qui peut s'écrire $g=\frac{a}{b}$ avec $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$.

Désignons par $i$ le plus petit entier strictement positif de $G$ sachant que $G$ contient forcément des entiers strictement positifs par stabilité (si un rationnel $\frac{p}{q}$ non nul est dans $G$ alors $p$ et $-p$ sont dans $G$). On a alors : $a=qi+r$ par division euclidienne de $a$ par $i$ avec $0\le r<i$.

De plus $a-qi\in G$ donc $r=0$ (en effet, on a alors $r\in G$ et $0\le r<i$, sachant que $i$ est le plus petit entier strictement positif de $G$, il vient que $r=0$ ). D'où la conclusion : $$\mathrm{\forall }g\in G;\mathrm{\exists }(q,b)\in {\mathbb{Z}}^2;g=\frac{q}{b}i;\mathrm{PGCD}(q,b)=1$$

(2)

Soient $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ et $i\in G$.

Supposons que $\frac{a}{b}i\in G$ et $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$. D'après le théorème de Bezout, il existe un couple d'entier $(k_1,k_2)$ tel que $a{k}_1+b{k}_2=1$.

On a alors : $$\frac{i}{b}=\frac{(a{k}_1+b{k}_2)i}{b}=k_1\frac{ai}{b}+i{k}_2\in G$$

(3)

Soient $(a,b,c)\in {\mathbb{Z}}^3$ et $i$ le plus petit entier positif de $G$.

Supposons que $\frac{ai}{bc}\in G$ alors $c\frac{ai}{bc}=\frac{ai}{b}\in G$ d'où $\frac{i}{b}\in G$ d'après la proposition précédente.

(4)

Soient $x,y\in G$ et $i$ le plus petit entier positif de $G$. D'après la propriété (1), il existe $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ tel que : $x=\frac{ai}{b}$ et $y=\frac{ci}{d}$ avec $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ et $\mathrm{PGCD}(c,d)=1$

Supposons que $\mathrm{PGCD}(b,d)=1$ alors d'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers $k_1,k_2$ tels que $k_{1}b+k_{2}d=1$. D'où : $$\frac{i}{bd}=\frac{i(k_{1}b+k_{2}d)}{bd}=\frac{k_{1}i}{d}+\frac{k_{2}i}{b}$$ D'après la proposition (2) puisque $x\in G$ alors $\frac{i}{b}\in G$ et donc $k_2\frac{i}{b}\in G$. De même $k_1\frac{i}{d}\in G$. D'où le résultat : $$\frac{i}{bd}\in G$$

Sens direct

Prouvons que les ensembles $S_{i,A}$ munis de l'addition sont des sous-groupes de $(\mathbb{Q},+)$. Soit $i\in \mathbb{Z}$ et $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...)$. Nous avons d'après la structure même de l'ensemble $S_{i,A}$: $$0\in S_{i,A}$$ $$x\in S_{i,A}⟹-x\in S_{i,A}$$ Et pour vérifier la stabilité par l'addition, prenons $x\in S_{i,A}$ et $y\in S_{i,A}$ alors $x=\frac{a_{x}i}{b_x}$ et $y=\frac{a_{y}i}{b_y}$. Avec $b_x=\prod _{p_j\in \mathbb{P}}{p}_j^{n_j}$ et $b_y=\prod _{p_j\in \mathbb{P}}{p}_j^{m_j}$. Posons : $$d(b_x,b_y)=\prod _{p_j\in \mathbb{P}}{p}_j^{s_j}$$ Où les $s_j$ sont définis par : $s_j=max(n_j,m_j)$. Bien sûr $s_j\le {\alpha }_j$. On peut alors noter : $b_x^{\prime }=\frac{d(b_x,b_y)}{b_x}$ et $b_y^{\prime }=\frac{d(b_x,b_y)}{b_y}$. On a alors : $$x+y=\frac{a_{x}i}{b_x}+\frac{a_{y}i}{b_y}=\frac{(b_x^{\prime }{a}_x-b_y^{\prime }{a}_y)i}{d(b_x,b_y)}\in S_{i,A}$$ Donc nous avons prouvé que les $(S_{i,A},+)$ forment des sous-groupes de $(\mathbb{Q},+)$ d'après le critère de sous-groupe.

Sens réciproque

Maintenant prouvons le sens réciproque. Soit $G$ un sous-groupe non-trivial de $(\mathbb{Q},+)$. D'après la proposition (1), tout élément $g$ de $G$ peut s'écrire sous la forme $g=\frac{ai}{b}$ avec $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ et où $i$ est le plus petit entier positif de $G$.

Nous allons alors créer la liste $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...)$ (comme définie plus haut, les ${\alpha }_i$ sont soit des entiers, soit le symbole $\mathrm{\infty }$) comme suit :

Soit $j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Si $\mathrm{\forall }L\in \mathbb{N}$ il existe un élément de $G$ de la forme donc $\frac{ai}{b}$ avec $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ tel que $p_j^L|b$ alors prenons ${\alpha }_j=\mathrm{\infty }$. Sinon prenons ${\alpha }_j=max\{k,p_j^k|b,\frac{ai}{b}\in G\}$

Comme $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$, et $p_j|b$ si ${\alpha }_j>0$ alors si ${\alpha }_j>0$ on a que $\mathrm{PGCD}(i,p_j)=1$.

D'après notre définition de $S_{i,A}$ on a que $G\subset S_{i,A}$.

Chaque élément $x$ de $S_{i,A}$ peut s'écrire sous la forme avec pour tout $j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n_j\le {\alpha }_j$ et $\mathrm{PGCD}(a,p_1^{n_1}{p}_2^{n_2}...p_r^{n_r})=1$ pour un certain entier $r$ : $$x=\frac{ai}{p_1^{n_1}{p}_2^{n_2}...p_r^{n_r}}$$ D'après la proposition (3), on a que $\mathrm{\forall }j\in \{1,...,r\},\frac{i}{p_j^{n_j}}\in G$. Et d'après la proposition (4), on a que $x\in G$. D'où $S_{i,A}\subset G$.

Donc $G=S_{i,A}$

4- Sous-groupes de $\mathbb{R}$

Si on met de côté le sous-groupe additif de $\mathbb{R}$ : $\{0\}$. Un sous-groupe $G$ addifitf de $\mathbb{R}$ est soit dense dans $\mathbb{R}$ soit est de la forme $G=a\mathbb{Z}$ avec $a>0$.

Comme $G$ n'est pas réduit à $\{0\}$ il existe un nombre positif dans $G$ (par stabilité de $G$ par passage à l'opposé). On note $X$ l'ensemble : $X=\{x>0,x\in G\}$. $X$ est une partie non-vide et minorée par $0$, elle possède donc une borne inférieure $s=inf(X)$ qui est positive ou nulle.

Si $s$ est strictement positive, il existe $x,y\in G$ tels que $s\le x\le y<2s$ (en effet, si $s\in G$ alors on peut prendre par exmeple $s=x=y$. Sinon il existe un élément de $G$ compris entre $s$ et $2s$ (sinon $2s$ serait un minorant de $X$ plus grand que $s$) qu'on note $r$, et on peut alors prendre $x=y=r$ par exemple). On a alors $0\le y-x<a$ et comme $y-x\in G$ par stabilité de l'opération de groupe, d'où $y=x$. Il n'y a donc qu'un seul élément de $G$ entre $s$ et $2s$ qu'on note $x_0$. Si $s\ne x_0$ alors on a une contradiction car on aurait deux éléments distincts qui seraient dans l'intervalle $[s,2s[$. Si bien que $s=x_0=inf(X)$.

On a alors que $s\mathbb{Z}\subset G$ puisque $s\in G$ et $G$ est un groupe. D'autre part, on a que $G\subset s\mathbb{Z}$. En effet, soit $x\in G$. On pose $n=\lfloor \frac{x}{s}\rfloor$. D'après la définition de la partie entière : $$\frac{x}{s}-1<n\le \frac{x}{s}$$ D'où : $$0\le x-sn<s$$ On a $x-sn\in G$ par stabilité, d'où $x-sn=0$ puisque $s$ est la borne inférieure de $X$. D'où $x=sn$, $x\in s\mathbb{Z}$. L'autre inclusion est prouvée.

Si $s$ est nulle, on montre que $G$ est dense dans $\mathbb{R}$. Soit $x\in \mathbb{R}$ et $ϵ>0$. Montrons que l'intervalle $]x-ϵ,x+ϵ[$ contient un élément de $G$. Il existe $g\in G$ tel que $0<g<ϵ$ puisque $0$ est la borne inférieure de $X$. On peut alors poser $n=\lfloor \frac{x}{g}\rfloor$. D'après la définition de la partie entière : $$\frac{x}{g}-1<n\le \frac{x}{g}$$ $$0\le x-ng<g<ϵ$$ Par stabilité, $ng\in G$ et $ng\in ]x-ϵ,x+ϵ[$, d'où la conclusion.